ماهنامه علمی پژوهشی مهندسی مکانیک مدرس. mme.modares.ac.ir

Transcript

1 مجله مهندسی مکانیک مدرس خرداد 397 دوره 8 شماره 3 صص ماهنامه علمی پژوهشی مهندسی مکانیک مدرس mme.modares.ac.ir مدلسازی دوالیه دیواره شریان با فرض ماده هایپراالستیک * امین امیرخانی علیرضا فتوحی - کارشناسیارشد مهندسی مکانیک دانشگاه یزد یزد - دانشیار مهندسی مکانیک دانشگاه یزد یزد * یزد صندوق پستی afotuhi@yazd.ac.ir اطالعات مقاله چکیده مدلسازی بافتهای بیولوژیک نقش مهمی در درک رفتار بافت و توسعه مواد مصنوعی برای کاربردهای پزشکی ایفا میکند و یک گام اساسی در توسعه مدلهای پیشبینیکننده برای کمک به تحقیقات در محدوده گستردهای از کاربردها شامل کاربردهای پزشکی و مهندسی بافت است. توابع انرژی کرنشی مختلف تا به امروز برای مدلسازی شریانها معرفی شدهاند. تابع انرژی کرنشی نوالن جدیدترین تابع انرژی کرنشی معرفی شده است. مدلسازی شریان به صورت دو الیه با استفاده از این تابع انرژی کرنشی تاکنون انجام نشده است. در این تحقیق مدلسازی دیواره شریان به صورت دوالیه شامل الیههای مدیا و ادوانتیشا و با فرض هایپراالستیک انجام شده است. ابتدا معادالت حاکم بر مسأله با استفاده از روابط محیطهای پیوسته استخراج و شرایط مرزی شامل فشار داخلی شریان نیروی محوری و ممان پیچشی تحت شرایط استاتیکی بر آن اعمالشدهاند مؤلفههای تنش کوشی با استفاده از روابط مکانیک محیطهای پیوسته مشخص شدند و سپس معادالت تعادل در مختصات استوانهای با استفاده از تنشهای کوشی به دست آمدهاند. معادالت دیفرانسیل جزئی غیرخطی معادالت حاصل از این روند هستند که با استفاده از روش درونیابی مشتق تعمیمیافته حل شدهاند و تغییرات تنش در دیواره شریان به دست آمده است. ابتدا مدلسازی شریان به صورت تک الیه شامل الیه مدیا انجام شده و نتایج مدلسازی با دادههای تجربی مقایسه شدهاند. مقایسه بین تنشها در دیواره شریان با دادههای تجربی نشان داد که تابع انرژی کرنشی نوالن برای انجام مدلسازی مناسب است. سپس مدلسازی شریان به صورت دوالیه شامل الیههای مدیا و ادوانتیشا انجام و تنشهای ایجاد شده در دیواره شریان به دست آمدهاند. مقاله پژوهشی کامل دریافت: 4 دی 396 پذیرش: 9 بهمن 396 ارائه در سایت: اسفند 396 کلید واژگان: مدلسازی دیواره شریان مکانیک محیطهای پیوسته معادالت دیفرانسیل جزئی غیرخطی روش درونیابی مشتق تعمیمیافته Two-layer artery wall modeling with hyperelastic material assumption Amin Amirkhani, Ali Reza Fotuhi * Department of echanical Engineering, Yazd University, Yazd, Iran. * P.O.B Yazd, Iran, afotuhi@yazd.ac.ir ARTICLE INFORATION Original Research Paper Received 5 December 7 Accepted 9 January 8 Available Online February 8 Keywords: Artery wall modeling Continuum mechanics Nonlinear partial differential equations Generalized differential quadrature method ABSTRACT Biologic tissues modeling play an important role in understanding the tissue behavior and development of synthetic materials for medical applications. It is also a vital action to develop the predictive models for a wide range of uses including medical and tissue engineering. Various strain energy functions have been introduced to model arteries to date. The newest introduced strain energy function is the Nolan strain energy function. Two-layer arterial modeling using this strain energy function has not been performed so far. In this paper, modeling the arteries was carried out in the form of double layers including media and adventitia and hyperelastic material assumption. At first, governing equations were driven based on continuum mechanics. Boundary conditions including inner pressure of artery, axial load and torque as well as static equilibrium were applied. oreover, Cauchy stress components were gotten by using the continuum mechanics relations. Then, the equilibrium equations in cylindrical coordinate were obtained by using the Cauchy stress. Stress distribution through the artery wall was specified by solving the resulting nonlinear partial differential equations based on generalized differential quadrature method. In the beginning, the artery modeling was conducted in the form of monolayer including the media layer and the results were compared with experimental ones, comparison between stresses in the artery wall and experimental data showed that the volcanic energy function of Nolan is suitable for modeling. After that, the stress distribution was obtained by artery modeling in the form of double layers including the media and adventitia layers. - مقدمه رفتار مکانیکی بافتهای نرم بیولوژیک در چند سال اخیر مورد توجه ویژه مراجع علمی قرار گرفته است و این امر به ویژه از چشمانداز مکانیک محیطهای پیوسته و به خصوص در مورد بافت دیواره شریان مورد توجه بیشتر است []. خصوصیات بافت نرم مختص بافتهای پیوسته نظیر ماهیچهها شریانها و مغز هستند. کالژن بخش عمدهای از این بافتهاست. قسمت باقیمانده شامل االستین تیکولین و یک ژل هیدروفیل است که آن را ماده زمینه میگویند []. تمرکز بر بافتشناسی دیواره شریانی متشکل از سه و الیه ادوانتیشا بخش اینتیما الیه مجزاست. الیه اینتیما الیه مدیا Intima Please cite this article using: برای ارجاع به این مقاله از عبارت ذیل استفاده نمایید: A. Amirkhani, A. R. Fotuhi, Two-layer artery wall modeling with hyperelastic material assumption, odares echanical Engineering, Vol. 8, No. 3, pp , 8 (in Persian)

2 درونیترین الیه است. مدیا الیه میانی شریانها و شامل یک شبکه پیچیده از الیاف کالژن است. الیه ادوانتیشا خارجیترین الیه شریانها و عمدتا از سلولهای فیبرو پالست و فیبروسیت تشکیل شده است. ماده زمینه بافتی و الیاف کالژن منظم در دستههای ضخیم سازنده این الیه هستند. کالژن به صورت قابل توجهی به قدرت و ثبات دیواره شریان کمک میکند. الیاف کالژن الیه ادوانتیشا در شرایط بدون تنش به صورت موجدار )مجعد( در ماده زمینه نرم تعبیه شدهاند که همین امر باعث کمتر شدن سفتی الیه ادوانتیشا در برابر الیه مدیا در شرایط بدون تنش میشود. شریانها در طول حیات خود به بیماریهایی مختلفی مبتال میشوند که شایعترین آنها بیماری آترواسکلروسیس است. در مورد خواص مکانیکی شریان آرایش منظم بسیار سازمانیافتهای از دو دسته الیاف کالژن هلیکال باعث میشود تا دیواره شریان )و الیههای آن( ناهمسانگرد باشند. در اغلب مسائل از تنش ناشی از حرکت سیال در داخل یا خارج از دیواره شریان صرفنظر میشود. از اینرو شریان را میتوان به عنوان یک جامد همگن در نظر گرفت. به طور کلی یک شریان قرار گرفته در داخل بدن تحت پیش کرنشهای محوری است. این امر به وسیله فاچز در سال [3] 9 اولین بار در هنگام جراحی و برای برداشتن یک قسمت کوتاه از بدن گزارش شد. شریان در داخل بدن مشابه یک ماده پیش کشیده شده تحت فشار داخلی است و استفاده از یک تئوری الزم و ضروری است که نتیجه تغییر شکلهای محدود را به واقعیت برساند. آزمایشهای دینامیکی روی بافت شریان رفتار ویسکواالستیک را نشان میدهد. شریانها تحت بارگذاری متناوب مقاومت نشان میدهند و در شرایط تنش آرام تحت کشش ثابت و بارگذاری ثابت خزش نشان میدهند. هنگامیکه بارگذاری روی دیواره شریان بیش از محدوده فیزیولوژیک باشد و همانگونه که در فرآیندهای مکانیکی مانند آنژیوپالستی رخ میدهند مکانیزمهای آسیب و شکست فعال میشوند. رفتار مکانیکی دیواره شریان یک رفتار ناهمسانگرد غیرخطی و تقریبا تراکمناپذیر است. مدلسازی الیاف کالژن براساس جهتگیری الیاف و پراکندگی جهتگیریهای الیاف انجام میگیرد که اثر قابلتوجهی روی پاسخهای مکانیکی بافت دارد. برای مدلسازی شریانها یک ماده تقویت شده با الیاف و معموال به شکل یک استوانه سه الیه دارای خواص ناهمسانگردی و تقریبا تراکمناپذیر در نظر گرفته میشوند. فری در سال [4] 969 اولین مطالعه درزمینه ناهمسانگردی شریان را انجام داد. در سال یک مدل ساختاری برای توصیف پاسخ غیرفعال مکانیکی بافت شریان به وسیله هولزآپفل گاسر و آگدن [5] ارائه شد. مدل ارائه شده در این مطالعه معماری دیواره شریان را به عنوان یک لوله جدار ضخیم دوالیه شامل مدیا و ادوانتیشا در نظر گرفته است. در سال 6 یک مدلسازی از الیههای شریان با در نظر گرفتن توزیع جهتگیری الیاف کالژن به وسیله گاسر آگدن و هولزآپفل [6] انجام شد. هدف از این مدلسازی توسعه یک چارچوب محیط پیوسته است که بتواند پراکندگی جهتگیری الیاف کالژن را به خوبی نشان بدهد. تجربههای گسترده نشان میدهد که بسیاری از مراقبتهای بالینی مربوط به بافتهای نرم میتوانند در چارچوب مکانیک محیطهای پیوسته مورد بررسی قرار گیرند. مثال بسته شدن شریان در سال به وسیله گاسر و همکاران [7] یا مسأله آنژیوپالستی با بالون در سال به وسیله هولزآپفل [8] مورد بررسی قرار گرفت و پارگی آئوریسم به وسیله هامفری در سال همکاران [] یک فرمول هایپراالستیک ناهمسانگرد جدید برای مدلسازی بافت نرم پیشنهاد کردند زیرا در مدل تراکمپذیر هولزآپفل و همکاران قسمت ناهمسانگرد مدل از نامتغیرهای ناهمسانگرد همحجم استفاده شده است بنابراین نسبت به تغییر شکلهای حجمی حساس نیست. به منظور مدل کردن درست رفتار ناهمسانگرد تراکمپذیر آنها مدل A 3 )مدل غیرایزوتروپ اصالحشده( را ارائه کردند که جدیدترین مدل ارائه شده برای مدلسازی دیواره شریان است. پس از آن هم مدلسازیهای زیادی برای شریانها انجام شد از جمله متحدی و همکاران در سال ][ 6 به تحلیل خمش در دیواره دو الیه شریان با فرض پراکندگی الیاف پرداختند که البته این مدل هم با فرض تراکمناپذیری انجام شد. هرچند در تمامی مدلها یادشده برای شریانها از تنشهای برشی ناشی از حرکت سیال در داخل یا خارج از شریان صرفنظر شد اما برای مدلسازی میکرو رگها باید توجه داشته باشیم که تغییرات تنش برشی در میکرو رگها با توجه به آسیب رساندن به الیه اندوتلیال و تغییر در نفوذپذیری و رسوب جرم در داخل میکرو رگها به عنوان عامل اصلی تشکیل پالک چربی دارای اهمیت زیادی است و جزء فاکتورهای مهم در ایجاد بیماریهای قلبی و عروقی محسوب میشود.][ در این مقاله برای نخستین بار مدلسازی دیواره شریان به صورت دو الیه با استفاده از تابع انرژی کرنشی نوالن و همکاران [] انجام میشود. دیواره شریان یک استوانه جدار ضخیم دوالیه شامل الیههای مدیا و ادوانتیشا و به صورت ناهمسانگرد با تراکمپذیری خیلی کم در نظر گرفته میشود. مدلسازی با اعمال شرایط مرزی مناسب انجام میشود و توزیع تنشها در دیواره شریان به دست میآیند. - معادالت حاکم در این بخش معادالت کلی که توصیف پیوستگی تغییر شکلها و تنشهای هایپراالستیک ماده را فراهم میکنند بیان میشود. به طور کلی شریان برای بررسی تغییر شکلها به عنوان یک لوله جدار ضخیم استوانهای در نظر گرفته میشود که تحت بارگذاریهای مختلف قرار دارد [5]. برای بررسی تغییر شکلهای شریان براساس روابط مکانیک محیطهای پیوسته همانگونه که در شکل مشخص است مختصات اولیه با Ω و مختصات تغییر شکل یافته با Ω نشان داده شده است. برای نشان دادن تغییر شکلها از نمادگذاری Χ Ω استفاده میشود که این تغییر شکل مختصات اولیه χ: Ω R 3 را به موقعیت x = χ(χ) Ω در مختصات تغییر شکل یافته Ω منتقل میکند. تبدیل χ هر نقطه از مختصات اولیه را به مختصات تغییر شکل یافته انتقال میدهد. همانگونه که در شکل مشخص است مختصات اولیه و تغییر شکل یافته در مختصات استوانهای برای شریان مورد نظر به صورت رابطه () است. R i R R o χ: Ω { Θ π α} { R 3 r i r r o } { θ π} χ = re r + θe θ + ze z Z H z h () متغیرهای r و θ و z در مختصات تغییر شکل یافته براساس مقاله هولزآپفل و همکاران در سال [5] به صورت روابط (4-) به دست میآیند [5]. θ = kθ + Z Φ () H π k = تعریفشده است و بیانکننده زاویه که در رابطه () α π 3 odified anisotropic model [9] نمونههای خوبی از کاربردها در این زمینه است. در سال 4 نوالن و edia Adventitia 67

3 Fig. Boundary conditions on the arteries [5] شکل شرایط مرزی روی شریان [5] بازشدگی مناسب لوله در مختصات بدون تنش )مختصات اولیه( است α زاویه قطاع بازشدگی و θ مختصه دوم دستگاه مختصات استوانهای در مختصات اویلرین Θ مختصه دوم در دستگاه اولیه Φ زاویه پیچش استوانه ناشی از پیچخوردگی و Z مختصه سوم دستگاه مختصات استوانهای برای حالت اولیه Z H به صورت رابطه )3( است. z = λ z Z (3) که در رابطه (3) z λ کشش محوری در جهت محور z است. برای بیان تغییر حجم میتوان برای دو استوانه اولیه و تغییر شکل یافته رابطه (4) (4) را نوشت. J = dv dv = π(r r i )z (π α)(r R i )Z رابطه مناسب برای به دست آوردن شعاع شریان در مختصات تغییر شکل یافته به صورت رابطه (5) (5) بیان میشود. بنابراین χ به صورت رابطه (6) خواهد بود. γ = J kλ z (R R i ) + r i χ = ( J kλ z (R R i ) + r i )e r + (kθ + Z Φ H )e θ + (λ z Z)e z (6) -- کششهای محوری در مختصات استوانهای به طور کلی کشش محوری از رابطه λ = dl dl به دست میآید. در اینجا کشش محوری در راستای جهتهای (z,r),θ به وسیله رابطههای (9-7) بیانشدهاند. λ r = (7) R = JR rkλ z λ θ = r θ (8) R Θ = rk R λ z = z (9) Z زاویه پیچش هم برای توصیف تمامی تغییر شکلهای ممکن در لوله استوانهای باید تعریف گردد. این زاویه براساس رابطه () بیان شده است γ = r Φ h () (X) F(X) = χ (X) است و در تانسور گرادیان تغییر شکل مختصات استوانهای به صورت رابطه () بیان میشود [3]. R R Θ Z [F] = r θ r θ θ r R R Θ Z z [ R z R Θ z Z ] () با انجام مشتقات مربوط به درایههای تانسور رابطه () گرادیان تغییر شکل در مختصات استوانهای برای حالت سهبعدی به صورت رابطه () بیان میشود. F = λ r e r E R + λ θ e θ E Θ + γλ z e θ E Z + λ z e z E Z () تانسور تغییر شکل گرین-کوشی راست در مختصات الگرانژین C = F T F به صورت رابطه (3) بیان شده است. C = λ r E R E R + λ θ E Θ E Θ + γλ z λ θ (E Θ E Z + E Z E Θ) + λ z ( + γ )E Z E Z و تانسور کوشی چپ هم از گرادیان تغییر شکل براساس رابطه (3) B = FF T به صورت رابطه (4) بیان شده است. B = λ r e r e r + (λ θ + γ λ z )e θ e θ + γλ z (e θ e z + e z e θ) + λ z e z e z (4) از تانسورهای کوشی به دست آمده و درایه برشی که در تانسور دیده میشود مشخص است که تغییر شکلهای ماده تغییر شکلهای اصلی نیستند. به عبارت دیگر درایههای تانسور کوشی مستقل خطی نیستند و این مسأله ادامه روابط و حل معادالت نهایی حاکم بر مسأله را با مشکل مواجه خواهد کرد. برای رفع این مشکل باید تانسور کوشی حول یک محور دوران داده شود تا درایههای غیراصلی تانسور کوشی صفر شوند و در واقع تغییر شکلهای اصلی به دست آیند. برای این کار کششهای محوری اصلی رابطه (5) در نظر گرفته شده است. λ i, i = {,,3} (5) تانسور کوشی حول محور r دوران داده شده و بنابراین بردارهای یکه رابطه (6) برای دوران در نظر گرفته شده است. V () = e r, V () = cosψe θ + sinψe z, V (3) = sinψe θ + cosψe z (6).[5] Fig. deformation of initial coordinates to deformed coordinates [3] شکل تغییر شکل از مختصات اولیه به مختصات تغییر شکل یافته [3] 66

4 W = ξ exp (Q) ρ Q = b E θ + b E z + b 3 E r + b 4 E θ E Z + b 5 E z E r + b 6 E r E θ (6) (6) 6),, = (i bها i و ξ ثابتهای ماده E r, E θ, E z در رابطه درایههای کرنش گرین در مختصات الگرانژین استوانهای و ρ چگالی ماده تابع انرژی کرنشی واحد در مختصات اولیه W سازنده شریان است. تانسور کوشی چپ برای کششهای اصلی از رابطه (7) به دست میآید. B = λ V () V () + λ V () V () + λ 3 V (3) V (3) (7) میدانیم که شرط برابری دو تانسور این است که درایههای متناظر آنها با یکدیگر برابر باشند بنابراین معادالت (7,4) با توجه به رابطه (5) مربوط به تانسور کوشی چپ با یکدیگر برابر قرار داده میشوند. در نتیجه روابط (-8) به دست میآیند. λ r = λ (8) λ θ + γ λ z = λ cos ψ + λ 3 sin ψ (9) γλ z = λ sinψcosψ λ 3 sinψcosψ () λ z = λ sin ψ + λ 3 cos ψ () که نتیجه به صورت روابط )3,( به دست میآید. λ θ = λ λ 3 λ z () ψ = arctan ( γ(λ z ) (λ θ ) (λ z ) + γ ) (3) - -تابع انرژی کرنشی مناسب برای مدلسازی دیواره شریان در مطالعات گذشته توابع انرژی کرنشی زیادی برای توصیف پاسخ مکانیکی دیواره شریانها پیشنهاد شده و از آنها برای مدلسازی و بررسی رفتار مکانیکی دیواره شریانها استفاده شده است. بسیاری از مدلسازیها درگذشته براساس مدلسازی لوله جدار نازک بوده که به هیچ وجه دارای پاسخ تنش-کرنش مناسب برای دیواره شریانها نیست. بعضی توابع انرژی کرنشی با فرض همسانگردی در نظر گرفته شده و مدلسازیها براساس مدلسازی دیواره جدار ضخیم همسانگرد و تراکمناپذیر انجام شده است که این روش به پاسخ مکانیکی شریان نزدیکتر است اما با توجه به ناهمسانگردی دیواره شریان به دلیل وجود الیاف کالژن و نقش مهم و حیاتی آنها در تحمل بارهای وارده از دقت الزم برخوردار نیست. مطالعات جدید و معتبرتر با فرضهای ناهمسانگردی و تراکمناپذیری ارائه شدند که به پاسخ مکانیکی شریان نزدیکتر هستند. هوپمن و همکاران در سال [4] 97 تابع انرژی کرنشی که برای بیان معادالت ساختاری حاکم بر رفتار مکانیکی دیواره شریان است را به صورت تابع چندجملهای رابطه (4) در نظر گرفتند. W = w(i 3, I 3, I 3 ) I 3 نامتغیرهای کرنش االستیک غیرخطی هستند و این تابع (4) I I و انرژی فقط تابعی از I I و I 3 است. در سال 979 کاسیانو و همکاران [5] از تابع انرژی کرنشی به صورت ترکیبی از توابع چندجملهای و نمایی به صورت رابطه (5) استفاده کردند. W = α [exp(α e + α 3 e e + α 4 e + α 5 e e + α 6 e e ) ] + [α 7 e exp(α 8 e ee ) + α 9 e + α ]e e ij (i, j =,) ثابتهای االستیک ماده و α i (i =,,,) (5) درایههای تانسور تغییر شکل هستند. این تابع انرژی کرنشی با فرض همسانگردی ارائه شده است. تابع انرژی کرنشی ارائه شده به وسیله چانگ و فانگ در سال 983 [6] را شاید بتوان یکی از پرکاربردترین توابع انرژی کرنشی برای مدلسازی دیواره شریانها دانست. اهمیت این تابع انرژی از آن جهت است که این مدل هر دو ویژگیهای ناهمسانگردی و غیرخطی بودن را برای مدلسازیها در نظر گرفته است. تابع انرژی کرنشی در مدل چانگ به صورت نمایی و در رابطه (6) نشان داده شده است. )الگرانژین( را نشان میدهد. کلیترین تابع انرژی کرنشی از نوع چانگ به وسیله هامفری و همکاران در سال 999 فرموله شد [7]. تابع انرژی کرنشی معرفیشده به وسیله هولزآپفل و همکاران در سال [5] پایه بسیاری از مدلسازیهای انجام شده پس از سال بوده است. این فرم از تابع انرژی کرنشی برای هر دوالیهی مدیا و ادوانتیشا دارای اعتبار است. این تابع شامل دو قسمت همسانگرد و ناهمسانگرد است که این دو قسمت به صورت کامل از یکدیگر جدا هستند )رابطه )7((. Ψ (C, a, a ) = Ψ iso (C ) + Ψ aniso (C, a, a ) (7) مدل اصلی هولزآپفل برای مواد تراکمناپذیر در نظر گرفته شده است. با این حال یک نوع از این تابع انرژی کرنشی وجود دارد که در آن از مدول بالک استفاده شده است بنابراین درجاهایی که نمیتوان از فرض تراکمناپذیری استفاده کرد و یا اینکه قصد استفاده از فرض تراکمپذیری کم وجود دارد میتوان این تابع را بهکار برد و تابع انرژی کرنشی در این مدل به صورت رابطه (8) ارائه شده است. Ψ (C, a, a ) = Ψ vol (J) + Ψ iso (C ) + Ψ aniso (C, a, a ) Ψ aniso و به ترتیب قسمتهای همسانگرد همحجم Ψ iso (8) در معادله باال ناهمسانگرد و همحجم انرژی کرنشی آزاد تغییر شکل کوشی همحجم است. C = J 3 C مزدوج تانسور نوالن و همکاران در سال [] 4 با مدلسازی شریان با استفاده از تابع انرژی کرنشی تراکمپذیر هولزآپفل و همکاران نتیجه گرفتند که تابع فوق تغییر شکلها را برای شریان در حالت تراکمپذیر و ناهمسانگرد به خوبی مدل نمیکند. آنها همچنین تابع موردنظر خودشان را برای جایگزینی با تابع تراکمپذیر هولزآپفل و همکاران معرفی کردند که آن را تابع غیرایزوتروپ اصالح شده میگویند. به موجب این اصالح تابع انرژی کرنشی ناهمسانگرد یک تابع تماما تشکیل شده از تانسور مرتبه دوم تغییر شکل کوشی C به جای قسمت همحجم خودش C به صورت رابطه (9) است. Ψ(J, C, a 4, a 6 ) = Ψ vol (J) + Ψ iso (J, C) + Ψ aniso (C, a 4, a 6 ) (9) که روابط (3-3) از رابطه (8) داریم. Ψ vol (J) = k (J ) Ψ iso (C ) = μ (I 3) (3) (3) Ψ aniso (C, a 4, a 6 ) = K {exp[k K (I i ) ] } (3) i=4,6 تابع انرژی کرنشی نوالن و همکاران جدیدترین تابع انرژی کرنشی معرفی شده است که با برطرف کردن عیوب تابع انرژی کرنشی تراکمپذیر هولزآپفل و همکاران برای مدلسازی شریان بهکار میرود. در این مقاله از تابع انرژی کرنشی نوالن و همکاران 3-- محاسبه تنشها از تابع انرژی کرنشی [] برای مدلسازی شریان استفاده شده است. با در اختیار داشتن تابع انرژی کرنشی نوالن و همکاران از معادله شناختهشده رابطه (33) برای به دست آوردن تنش نوع دوم پیوال-کیرشهف استفاده شده 67

5 σ zθ = σ θz = μ J 5 3 [(λ λ 3 )sinψcosψ] + J K [L(a 4 a 4 ) 3 + N(a 6 a 6 ) 3 ] (45) در رابطههای (45-43) L و N به وسیله روابط (47,46) بیان میشوند L = (I 4 )exp{k (I 4 ) } N = (I 6 )exp{k (I 6 ) }.[5] (46) (47) است [5]. S = Ψ(C) (33) C FT با استفاده از تنش نوع دوم پیوال کیرشهف رابطه (33) با استفاده از رابطه (34) تنش کوشی در مختصات اویلرین به دست میآید [3]. σ = J FSF T (34) رابطه (35) تنش کوشی حاصل از تابع انرژی کرنشی رابطه (9) را نشان σ = k (J )I + μ [B 3 I I] μ مدول برشی بردارهای + J K (I i میدهد. i=4,6 )exp {[K (I i ) ]}(a i a i ) (35) مدول بالک ایزوتروپیک (35) در رابطه k ایزوتروپیک K و K ثابتهای غیرایزوتروپیک ماده و 4,6) = (i a i = Fa i جهتهای الیاف در مختصات اویلرین هستند. نامتغیر اول از رابطه trac(c) I (C) = I (B) = به دست میآید I (C) = λ + λ + λ 3 مربوط به جهت الیاف کالژن در دیواره شریان بنابراین رابطه (36) به صورت زیر است. (36) و نامتغیرهای و I 6 I 4 هستند. مدل شریان به صورت یک استوانه جدار ضخیم در نظر گرفته میشود که دودسته الیاف کالژن هلیکال در ماده زمینه آن جاسازی شدهاند و جهت این الیاف عمود بر یکدیگر است. بردار هادیهای روابط (37) جهت الیاف در مختصات اولیه هستند [5]. a 4 = [ cosβ sinβ] (37-a) a 6 = [ cosβ sinβ] (37-b) نامتغیرهای چهارم و ششم وابسته به جهت الیاف کالژن هستند و از رابطههای (39,38) به دست میآیند: I 4 = a 4. Ca 4 = C cos β + C 3 sinβcosβ + C 33 sin β (38) I 6 = a 6. Ca 6 = C cos β C 3 sinβcosβ + C 33 sin β (39) که C ij ها =,,3 j i, در روابط (4) بیان شدهاند. C = λ r = λ C = λ θ = ( λ λ 3 λ z ) C 3 = C 3 = r Φλ λ 3 h C 33 = λ z ( + γ ) = λ z ( + (r Φ h ) ) β زاویه جهت الیاف است. مؤلفههای تنش کوشی حاصل از رابطههای σ rθ = σ θr = σ rz = σ zr = σ rr = k (J ) + 3 (λ λ λ 3 ) (4-a) (4-b) (4-c) (4-d) (45-4) به دست میآیند. 4-- معادالت تعادل و شرایط مرزی معادالت حاکم بر مسأله همان معادالت تعادل در مختصات استوانهای هستند. این معادالت برای مختصات استوانهای به صورت روابط (48) بیان میشوند σ rr σ rθ.[3] (48-a) + σ rr σ θθ + r r θ + σ rz z + f r = σ rθ (48-b) + σ rθ + σ θθ r r θ + σ θz z + f θ = σ zr (48-c) + σ zr r + σ zθ r θ + σ zz z + f z = با توجه به اینکه در مسأله نیروهای جسمی وجود ندارد می توان رابطه (49) را نوشت. f r = f θ = f z = (49) با جایگذاری این مقادیر در معادالت تعادل اولیه و با در نظر گرفتن ویژگی تقارن محوری مسأله ) = θ ( معادالت تعادل برای مسأله مورد σ rr σ θz + σ rr σ θθ r بررسی در این مقاله به صورت روابط (5) بیان میشوند. = (5-a) (5-b) z = (5-c) σ zz z = -5- شرایط مرزی از شکل معادالت تعادل پیداست به مشتقات جزئی غیرخطی هستند. این معادالت معادالت دیفرانسیل با روی مرز دیواره خارجی تنش در جهت r صفر است. این شرط مرزی به صورت رابطه (5) اعمال میگردد [5]. σ rr (r = r o ) = (5) در مرز داخلی شریان مقدار تنش σ rr برابر و خالف جهت فشار موجود در شریان به صورت رابطه (5) است[ 5 ]. r o p i = σ rr (r = r i ) = (σ θθ σ rr ) dr (5) r i r شرط مرزی روی z درواقع به وسیله یک شرط ضعیف بیان میشود که در این شرط با انتگرالگیری نیروی محوری وارد به شریان براساس معادله r o P = π σ θθ rdr r i (53) به دست میآید [5]. برای حل عددی نیروی کاهشیافته محوری رابطه (54) (53) است [5] و محاسبات براساس آن انجام میگیرد. مشخص شده F = P πr i p i یکی از تغییر شکلهای احتمالی برای شریان پیچش است و شرط (54) مرزی پیچش هم برای شریان در نظر گرفته میشود. که به صورت رابطه r o t = σ θz r dr r i (55) بیان شده است [5]. (55) σ θθ = k (J ) + μ J 5 3 (λ cos ψ + λ 3 sin ψ 3 λ 3 λ 3 λ 3 ) + J K [L(a 4 a 4 ) + N(a 6 a 6 ) σ zz = k (J ) + μ J 5 3 [λ sin ψ + λ 3 cos ψ 3 λ 3 λ 3 λ 3 ] + J K [L(a 4 a 4 ) 33 + N(a 6 a 6 ) 33 ] (4) (4) (43) (44) 67

6 با در نظر گرفتن شرایط مرزی یادشده شرایط تعادل استاتیکی برای شریان اعمال میگردد. با حل معادالت و شرایط مرزی با استفاده از روشهای عددی مناسب پاسخ تنشها برای حالت یک الیه به دست خواهد آمد. 6-- تحلیل شریان با فرض دو الیه توابع انرژی کرنشی مورد استفاده برای حالت دوالیه مشابه تابع انرژی کرنشی حالت یک الیه هستند اما با ثابتهای متفاوت برای هرکدام از الیهها به صورت روابط (56) بیان شدهاند [5]. Ψ = k (J ) + μ (I 3) + K K {exp[k (I i ) ] i=4,6 } Ψ A = k A(J ) + μ A (I A 3) (56-a) + K A {exp[k K A (I ia ) ] A i=4,6 } (56-b) در توابع انرژی کرنشی معادالت (56) برای دو الیه شش پارامتر برای مواد تشکیلدهنده شریان وجود دارد که k K A k A و K A برای الیه ادوانتیشا هستند. 7-- شرایط مرزی دو الیه K و K برای الیه مدیا و تنشهای شعاعی در دیواره خارجی الیه ادوانتیشا صفر است. این شرط مرزی به صورت معادله (57) اعمال میگردد. σ rr(a) (r = r o(a) ) (57) اما در مرز داخلی شریان مقدار تنش در جهت شعاعی یا همان σ rr برابر و در خالف جهت فشار موجود در شریان است. این شرط مرزی به صورت ضعیف و به شکل معادله (58) اعمال میگردد. p i = σ rr() (r i() ) r o() = [ (σ rr() r i() σ θθ() ) dr() r(m) r o(a) + (σ rr(a) σ θθ(a) ) dr(a) r i(a) r(a) (58) شرط مرزی نیرویی روی z درواقع به وسیله یک شرط ضعیف حاصل میشود که در این شرط با انتگرالگیری روی دو الیه نیروی محوری وارد به شریان از رابطه (59) به دست میآید. r o() P = π σ zz() r()dr() r i() r o(a) + σzz(a)r(a)dr(a) r i(a) (59) برای حل عددی نیروی کاهشیافته محوری تعریف شده که محاسبات براساس آن انجام میگیرد و به صورت رابطه (6) بیان شده است. F = P πr i() p i (6) یکی از تغییر شکلهای احتمالی برای شریان پیچش است و یک شرط مرزی پیچش هم برای شریان در نظر گرفته میشود. این شرط مرزی به وسیله رابطه (6) بیان شده است. شرایط مرزی پیوستگی برای ترکشنها در جهت شعاعی در مرز مشترک دوالیه هم برقرار و به صورت رابطه (6) اعمالشده است. σ rr() (r = r o() ) = σ rr(a) (r = r i() ) (6) درنهایت شرایط تعادل استاتیکی برای شریان اعمال و با حل معادالت و شرایط مرزی باال با استفاده از روشهای عددی مناسب پاسخ برای حالت دوالیه به دست خواهد آمد. 3- روش حل عددی در مدلسازی مکانیکی دیواره شریان معادالت تعادل حاکم هستند. با اعمال این معادالت بر تنشهای کوشی به دست آمده یک دستگاه معادالت دیفرانسیل با مشتقات جزئی مرتبه اول غیرخطی حاصل میگردد که این معادالت باید با استفاده از شرایط مرزی مناسب و با یک روش مناسب عددی حل شوند. با جایگذاری مؤلفههای تنش کوشی در معادالت تعادل و با توجه به اینکه در مؤلفههای تنش فقط سه مجهول λ, λ و λ 3 وجود دارند و اینکه مسأله به صورت دوبعدی در جهتهای r z, مورد بررسی قرار میگیرد مشتقات جزئی λ, λ, λ 3 در جهت r و مشتقات جزئی λ z, λ z, λ 3 z در جهت z در معادالت به وجود میآیند. معادالت حاصل با روشهای تحلیلی قابل حل نیستند بنابراین باید با روشهای تقریبی عددی حل شوند. در اغلب موارد حلهای تقریبی به صورت به دست آوردن مقادیر تابعکها در نقاط گره کامال مشخص بیان میشود. در این مرحله یکی از پرسشهای مهم و احتمالی رابطه بین مشتقات جزئی در معادالت دیفرانسیل و مقدار تابعکها در نقاط گره است. پلی که این دو را به هم وصل میکند عبارت از تکنیکهای گسستهسازی عددی است. این تکنیکها متناسب با راهحل تقریبی است و حل عددی به روش گسستهسازی نامیده میشود. راهحلهای گسستهسازی متعددی برای حل این معادالت )FD( المان محدود وجود دارند. در این میان روشهای تفاضل محدود )FV( در گروه روشهای حل مرتبه پایین قرار )FE( و حجم محدود 3 میگیرند. -3- روش درونیابی مشتق تعمیمیافته 4 در جستجوی یک روش گسستهسازی کارآمد برای به دست آوردن حل عددی با تعداد گرههای کم بلمن و همکاران در سال 97 روش دیفرانسیل را معرفی کردند [8]. در بسیاری از مسائل حجم محاسبات با کوادراچر 5 استفاده از روش دیفرانسیل کوادراچر معرفی شده به وسیله بلمن و همکاران کاهش پیدا میکند. در این روش مشتقات جزئی به صورت مجموع حاصلضرب مقادیر یک تابع چندجملهای در ضرایب وزنی همان نقاط تقریب زده میشود. به طور خالصه زمانی که مشتقات جزئی با تقریبهای مشتق تعمیمیافته جایگزین شوند معادله دیفرانسیل جزئی به یک دستگاه معادالت جبری برای مسائل مستقل از زمان و یک سیستم معادالت دیفرانسیل معمولی برای مسائل مقدار اولیه و یا مسائل مقدار مرزی وابسته به زمان تبدیل میشود. در همه موارد روشهای عددی مناسب برای حل این دستگاههای معادالت حاصل به خوبی توسعه داده شدهاند. -3- گسستهسازی معادالت اگر N گره در جهت r و گره در جهت z در سطح مورد نظر در نظر گرفته Finite Difference Finite Element 3 Finite Volume 4 Generalized Differential Quadrature)GDQ) 5 Differential Quadrature r o() r o(a) t = σ θz() r() dr() + σ θz(a) r(a) dr(a) r i() r i(a) (6)

7 شود گرههای چبیشوف به صورت روابط (64,63) در جهتهای r وz تعریف میشوند [9]. r i = r + i ( cos N π) (r N r ) i =,,3, N (63) z j = z + j ( cos π) (z z ) j =,,3, (64) با اعمال این گرهها در معادالت (66,65) ضرایب روش درونیابی مشتق تعمیمیافته برای مشتقات جزئی مرتبه اول به دست خواهند آمد. a r ij = N (r j r i ) r i r k r j r k N a r ii = a ij a z ij = j= j i j= j i (z j z i ) z i z k z j z k a z ii = a ij j= j i j= j i i, j =,,, N i =,,, N i, j =,,, i =,,, i = j i j i j i = j (65-a) (65-b) (66-a) (66-b) سپس با جایگذاری ضرایب کوادراچر در معادالت گسستهسازی شده مشتقات جزئی مرتبه اول به دست خواهند آمد. (67) (67-a) مقادیر λ = λ () r (ri, z j ) = a r ik. λ (r k, z j ) N k= i =,,3,, N j =,,3, λ = λ () r (ri, z j ) = a r ik. λ (r k, z j ) N k= i =,,3,, N j =,,3, λ 3 = λ () r (ri, z j ) = a r ik. λ 3 (r k, z j ) N k= i =,,3,, N j =,,3, λ z = λ () z (ri, z j ) = a z jk. λ (r i, z k ) k= i =,,3,, N j =,,3, λ z = λ () z (ri, z j ) = a z jk. λ (r i, z k ) k= i =,,3,, N j =,,3, λ 3 z = λ () z (ri, z j ) = a z jk. λ 3 (r i, z k ) k= (67-b) (67-c) (67-d) (67-e) i =,,3,, N j =,,3, (67-f) با استفاده از این روش معادالت دیفرانسیل با مشتقات جزئی تبدیل به دستگاه معادالت جبری میشوند و با جایگذاری مقادیر سیگما در سه معادله تعادل یک دستگاه معادالت جبری غیرخطی تشکیل میشود. با حل دستگاه معادالت حاصل مجهوالت در همه گرهها به دست میآیند و سپس با استفاده از مجهوالت به دست آمده در هر گره میتوان خروجیهای مورد نیاز را به دست آورد. 4- اعتبار سنجی و نتایج در این قسمت ابتدا نتایج عددی حاصل از مدلسازی شریان به صورت یک الیه با استفاده از تابع انرژی کرنشی نوالن و همکاران [] مورد بررسی قرار میگیرد. در ادامه نتایج به دست آمده از این پژوهش با نتایج تجربی مقاله [] مقایسه میشود. سپس مدلسازی شریان کرونر به صورت دوالیه با استفاده از تابع انرژی کرنشی نوالن و همکاران [] انجام خواهد شد. بررسی تنشهای ایجاد شده در دیواره شریان کرونر انسانی تنشهای نهایی قابل تحمل برای دیواره این شریان و فشار داخلی معادل برای ایجاد تنش نهایی در دیواره شریان در ادامه این قسمت مطرح میگردد. -4- مدل شریان به صورت یک الیه مدلسازی شریان جهت اعتبارسنجی حل عددی و معادالت مورد بررسی قرار گرفته در این مطالعه به صورت یک الیه با استفاده از تابع انرژی کرنشی نوالن و همکاران و با قرار دادن [] ثابتهای عددی مطرح هولزآپفل و همکاران در سال [] 5 انجام شده در مقاله شده است. مقادیر عددی به کار رفته در مدلسازی در جدول [] ارائه و بارگذاریهای انجام شده روی مدل طبق جدول [] اعمال شده است. بارگذاری نیرو و فشار داخلی به صورت همزمان بر شریان انجام شده است و با افزایش تدریجی کشش محوری λ z تنشهای محوری و محیطی ایجاد شده در دیواره شریان حاصل از مدلسازی با استفاده از مدل ارائه شده در این تحقیق و با بهکار بردن ثابتهای عددی یادشده در جدول و شرایط مرزی جدول به صورت شکل 3 به دست آمده است. برای مقایسه تنشهای محوری و محیطی برای مدل ارائه شده در این پژوهش و دادههای تجربی ارائه شده مقاله [] برای الیه مدیا در شکلهای جداگانه نشان داده شدهاند. شکل 4 نمودار تنش محوری مدل ارائه شده در این مطالعه و دادههای تجربی مقاله هولزآپفل و همکاران در سال [] 5 برای الیه مدیا را نشان میدهد. تشابه تنش محوری برای مدل ارائه شده در این مطالعه با دادههای تجربی مشهود است. با افزایش کشش محوری تنش محوری افزایش مییابد. روند تنش برای مدل پژوهش حاضر و دادههای تجربی مقاله افزایشی است که این افزایش برای دادههای تجربی و مدل ارائه شده در این پژوهش روند مشابهی را طی میکند. در شکل 5 نمودار تنش محیطی برای مدل ارائه شده در تحقیق حاضر و دادههای تجربی مقاله هولزآپفل و همکاران [] ارائه شده است. با مقایسه نمودارهای تنش محیطی برای دو حالت همانگونه که از شکل 3 پیداست اندازه تنشهای محیطی بزرگتر از تنشهای محوری است. روند افزایش تنشها با افزایش کشش محوری در تحقیق حاضر مشابه دادههای تجربی مقاله هولزآپفل و همکاران [] است. نتایج به دست آمده از مدل ارائه شده در این تحقیق و دادههای تجربی ارائه شده در مقاله هولزآپفل و همکاران [] نشاندهنده افزایش مقدار تنشهای محیطی و محوری در دیواره شریان با افزایش کشش محوری است. -4- مدل شریان به صورت دوالیه در این قسمت مدلسازی شریان به صورت دوالیه تقویتشده با دو دسته جدول خصوصیات هندسی و مکانیکی الیه مدیا شریان [] Table Geometric and echanical Properties of the edia Layer [] مشخصات هندسی مقدار مشخصات مکانیکی مقدار k [kpa] μ [kpa] K [kpa] K [ ] R i [mm] T [mm] β [ ] H[mm]

8 جدول بارگذاریهای شریان برای مدلسازی پارامتر Table Loading on the artery for modeling مقدار F[N] t [N. m] p i [kpa] Fig. 5 circumferential stress-axial stretch diagram for model and experimental data شکل 5 نمودار تنش محیطی- کشش محوری برای مدل و دادههای تجربی الیاف براساس مدل نوالن و همکاران [] با استفاده از مقادیر ثابت بیان شده مقاله هولزآپفل و همکاران [5] برای الیه مدیا و ادوانتیشا انجام شده است. حل معادالت با روش عددی درونیابی مشتق تعمیمیافته انجام و نمودار تنشها برای این مدلسازی رسم شده است. مقادیر عددی مربوط به هندسه مسأله و ثابتهای مکانیکی مربوط به خواص ماده تشکیلدهنده شریان برای الیه مدیا در جدول 3 خصوصیات هندسی مربوط به الیه ادوانتیشا به همراه خصوصیات مکانیکی ماده تشکیلدهنده این الیه در جدول 4 و همچنین بارگذاریهای اعمالشده بر استوانه مطابق با مقاله [5] در جدول 5 ارائه شده است. تنشهای موجود در دیواره شریان با استفاده از مدل ارائه شده در این تحقیق با بهکار بردن ثابتهای عددی بیان شده در جداول 5-3 به صورت شکل 6 به دست آمدهاند. این شکل نمودار تنشهای محوری محیطی و شعاعی را نسبت به ) i r) r نشان میدهد. r شعاع استوانه در هر نقطه است و r i شعاع داخلی استوانه است. تنش شعاعی از مقادیر کوچک منفی روی دیواره داخلی آغاز میشود و با یک روند مالیم در نهایت روی دیواره خارجی شریان به صفر میرسد. تنش محیطی روی دیواره داخلی شریان دارای حداکثر مقدار خود است که این مقدار ابتدا به صورت نسبتا سریع کاهش مییابد و در ادامه روند این کاهش مالیم میشود اما این کاهش تا دیواره خارجی شریان ادامه پیدا میکند. تنش محوری هم روی دیواره داخلی دارای بیشینه مقدار خود است که با یک روند کاهشی نسبتا مالیم نسبت به تنش محیطی کاهش پیدا میکند و در ادامه یک روند ثابت را طی میکند که این روند تا دیواره خارجی شریان ادامه دارد. نمودار شکل 7 جهت اعتبارسنجی معادالت و حل عددی برای حالت دو الیه برای تنشهای محیطی ایجاد شده در دیواره شریان برای مدل ارائه شده در این مقاله و مدل هولزآپفل و همکاران ]5[ با استفاده از ثابتهای عددی جدول 3 برای الیه مدیا ثابتهای عددی جدول 4 برای الیه ادوانتیشا و شرایط مرزی جدول 5 ترسیم شده است. تشابه تنشهای محیطی برای دو مدل در شکل 7 مشخص است. نتایج حاصل از مدل ارائه شده در این مقاله و نتایج ارائه شده در مقاله هولزآپفل و همکاران ]5[ نشان میدهد که حداکثر تنشهای محیطی برای هر دو مدل روی دیواره داخلی شریان بوده و با یک روند یکسان در هر دو مدل کاهش پیدا میکند. Fig. 3 Stress-Tensile diagram based on the present research model شکل 3 نمودار تنش-کشش محوری براساس مدل پژوهش حاضر جدول 3 خصوصیات هندسی و مکانیکی الیه مدیا [5] Table 3 Geometric and echanical Properties of edia Layer [5] مشخصات هندسی مقدار مشخصات مکانیکی مقدار k [kpa] μ [kpa] K [kpa] K [ ] R i [mm] T [mm] β [ ] H[mm] Fig. 4 Axial Stress-axial stretch for odel and Experimental Data شکل 4 نمودار تنش محوری- کشش محوری برای مدل و دادههای تجربی

9 جدول 4 خصوصیات هندسی و مکانیکی الیه ادوانتیشا [5] Table 4 Geometric and echanical Properties of the adventitia Layer [5] مشخصات هندسی مقدار مشخصات مکانیکی مقدار k A [kpa] μ A [kpa] K A [kpa] K A [ ] R i [mm] T A [mm] β A [ ] H[mm] Fig. 7 circumferential stress - Thickness diagram of artery for two models شکل 7 نمودار تنش محیطی ضخامت شریان برای دو مدل جدول 5 بارگذاریهای شریان [5] پارامتر Table 5 Loading on the artery [5] مقدار 5 6 F[N] t[n. m] p i [kpa] α[ ] Φ[ ] λ z [ ] 3-4- مدلسازی شریان کرونر به صورت دوالیه در این قسمت مدلسازی شریان کرونر با استفاده از تابع انرژی کرنشی معرفیشده به وسیله نوالن و همکاران [] به صورت دوالیه تراکمپذیر با استفاده از خصوصیات هندسی شریان کرونر [] و خصوصیات مکانیکی ماده تشکیلدهنده زمینه و الیاف بهکار رفته در ساختار شریان [] انجام شده است. سپس تنشهای ایجاد شده در دیواره شریان کرونر با استفاده از شرایط مرزی مورد بررسی قرار گرفته است. خصوصیات هندسی و مکانیکی بهکار رفته برای مدلسازی الیه مدیا با استفاده از مقاله هولزآپفل و همکاران 5 [] برای شریان کرونر در جدول 6 و خصوصیات هندسی و مکانیکی بهکار رفته برای مدلسازی الیه ادوانتیشا با استفاده از مقاله هولزآپفل و همکاران [] 5 برای شریان کرونر به صورت جدول 7 است. شرایط مرزی و بارگذاریهای انجام شده برای مدلسازی شریان کرونر به صورت جدول 8 خواهد بود. تنش معادل فون میزز به ازای فشارهای داخلی متفاوت تعیین و نمودار تنش فون میزز برحسب فشار برای دیواره داخلی شریان است. با تغییر شرط مرزی فشار داخلی فون- میزز معادل برای همان فشار به دست آمده است و نمودار فون-میزز برحسب فشار به صورت شکل 8 گزارش شده است. از شکل میتوان نتایج زیر را دریافت کرد: الف- تنش فون میزز با افزایش فشار داخل شریان بر دیواره داخلی شریان افزایش پیدا میکند. ب- در فشارهای پایینتر حساسیت تنش فون میزز به افزایش فشار کمتر است ولی با افزایش فشار داخلی شیب نمودار افزایش مییابد تنشهای نهایی در جهتهای محیطی و محوری تنشهای نهایی قابلتحمل برای هرکدام از الیههای شریان در جهتهای محوری و محیطی در جدول 9 به صورت زیر نشان داده شدهاند. براساس اطالعات جدول تنش نهایی برای هر دوالیه شریان در جهت محیطی بیشتر از محوری و همچنین نشان میدهد که تنشهای نهایی برای الیه ادوانتیشا جدول 6 خصوصیات هندسی و مکانیکی الیه مدیا [] Table 6 Geometric and echanical Properties of the edia Layer [] مشخصات هندسی مقدار مشخصات مکانیکی مقدار k [kpa] μ [kpa] K [kpa] K [ ] R i [mm] T [mm] β [ ] H[mm] جدول 7 خصوصیات هندسی و مکانیکی الیه ادوانتیشا [] Table 7 Geometric and echanical Properties of the Adventitia Layer [] مشخصات هندسی مقدار مشخصات مکانیکی مقدار k A [kpa] μ A [kpa] K A [kpa] K A [ ] R i [mm] T A [mm] β A [ ] H[mm] Fig. 6 Stress-Thickness diagrams of artery شکل 6 نمودار تنش- ضخامت شریان

10 جدول 8 شرایط مرزی اعمالشده برای مدلسازی Table 8 Boundary conditions applied for modeling مقدار پارامتر 3 F[N] t [Nm] 6 α[ ].4 Φ[ ]. λ z [ ] Fig. 9 Von-ises stress diagram for different pressures شکل 9 نمودار تنش فون- میزز به ازای فشارهای متفاوت Fig. 8 Von-ises Stress-Internal Pressure Diagram of Coronary Artery شکل 8 نمودار تنش میزز- فشار داخلی شریان کرونر Fig. Stress-Artery Thickness (r r i )Diagram شکل نمودار تنش ضخامت شریان( r) r i جدول 9 تنشهای نهایی برای الیههای شریان کرونر [] Table 9 ultimate stresses for coronary artery layers [] [kpa] تنشهای نهایی الیه مدیا الیه ادوانتیشا تنش محوری تنش محیطی بزرگتر از الیه مدیاست. 3±69 43±64 49±88 446± سطح بحرانی تنش در دیواره شریان برای مشخص شدن محل ایجاد حداکثر تنشها در دیواره شریان)سطح بحرانی تنش( مدلسازی به ازای چند فشار متفاوت انجام نمودارهای تنش فون- شده است و میزز نسبت به ضخامت شریان ) i r) r برای این مدلسازیها ترسیم شده که در شکل 9 قابل مشاهده است و این نتیجهگیری را حاصل میکند که حداکثر تنش معادل فون- میزز در دیواره شریان روی سطح داخلی شریان قرار دارد بنابراین سطح بحرانی تنش در دیواره شریان روی سطح داخلی الیه مدیا قرار دارد. از اطالعات جدول 9 برای الیه مدیا مشخص میشود که تنشهای نهایی قابل تحمل برای این الیه در حالت کامال امن مقادیر 3 کیلو پاسکال در جهت محوری و 5 کیلو پاسکال در جهت محیطی هستند. فشار داخلی کیلو پاسکال حداکثر تنش محیطی قابل تحمل برای شریان با اطالعات هندسی و مکانیکی مطرح شده است و مدلسازی شریان کرونر به صورت دوالیه به ازای این فشار داخلی انجام شده که تنشهای محوری و محیطی حاصل نسبت به ) i r) r در شکل نشان داده شده است. 5- نتیجه گیری به طور کلی هدف از مدلسازیهای مختلف و ارائه توابع انرژی کرنشی مختلف دستیابی به تابع انرژی کرنشی است که بتواند خواص و خصوصیات مکانیکی شریان را هر چه بهتر نشان دهد و در واقع نتایج آن بیشتر به نتایج تجربی نزدیک باشد. در این مقاله مدلسازی برای اولین بار به صورت دو الیه با استفاده از تابع انرژی کرنشی نوالن و همکاران ][ انجام شد و نتایج زیر حاصل شده است: - - با توجه به نتایج حاصل از مقایسه تنشهای ایجاد شده در دیواره شریان با دادههای تجربی مشخص شده است که تابع انرژی کرنشی نوالن و همکاران ][ به خوبی تنش در دیواره شریان را مشخص کرده است بنابراین تابع انرژی کرنشی نوالن و همکاران ][ یک تابع انرژی کرنشی مناسب برای مدلسازی شریان است. در همه مدلسازیهای انجام شده در مقاله حداکثر تنشهای ایجاد شده در دیواره شریان روی سطح داخلی قرار دارند و بنابراین میتوان

11 Ψ iso گفت که سطح بحرانی دیواره شریان سطح داخلی آن است. با توجه به اینکه در این مقاله مدلسازی شریان به صورت دو الیه شامل مدیا و ادوانتیشاست و بر این اساس الیه داخلی شریان الیه مدیاست بنابراین در این مقاله الیه مدیا الیه بحرانی شریان است. با توجه حداکثر تنشهای قابلتحمل برای الیه مدیا شریان کرونر این نتیجه حاصل شده است که حداکثر فشار داخلی قابل تحمل برای شریان مفروض در این مقاله فشار داخلی کیلو پاسکال خواهد بود فهرست عالئم بردار هادیهای جهت الیاف در مختصات اولیه بردار هادیهای جهت الیاف در مختصات تغییر شکل یافته تانسور تغییر شکل کوشی راست قسمت همحجم تانسور تغییر شکل کوشی راست گرادیان تغییر شکل طول استوانه در حالت تغییر شکل یافته (m) طول استوانه در حالت اولیه (m) تانسور واحد قطری نامتغیر اول تغییر شکل نامتغیرهای تغییر شکل توزیع الیاف دترمینان گرادیان تغییر شکل مدول بالک ایزوتروپیک ) (Nm ثابتهای غیرایزوتروپیک ماده ممان پیچشی (Nm) فشار داخلی استوانه ) (Nm نیروی عمودی محوری (N) مختصات تغییر شکل یافته (m) مختصات اولیه (m) شعاع داخلی استوانه در حالت تغییر شکل یافته (m) شعاع داخلی استوانه در حالت اولیه (m) شعاع خارجی استوانه در حالت تغییر شکل یافته (m) شعاع خارجی استوانه در حالت اولیه (m) ضخامت استوانه (m) (Nm) زاویه قطاع ) ( زاویه الیاف ) ( زاویه تغییر شکل پیچشی ) ( مدول برشی ایزوتروپیک ) (Nm تنش کوشی ) (Nm زاویه پیچش ) ( تابع انرژی آزاد هلمهولتز (Nm) قسمت حجمی تابع انرژی آزاد هلمهولتز a i i = 4,6 a i i = 4,6 C C F h H I I I i i = 4,6 J k K i i = 4,6 t p i P r, θ, z R, Θ, Z r i R i r o R o T عالئم یونانی قسمت ایزوتروپیک تابع انرژی آزاد هلمهولتز (Nm) قسمت غیرایزوتروپیک تابع انرژی آزاد هلمهولتز (Nm) قسمت ایزوتروپیک تابع انرژی آزاد همحجم (Nm) قسمت غیرایزوتروپیک تابع انرژی آزاد همحجم (Nm) Ψ aniso Ψ iso Ψ aniso زیرنویسها الیه ادوانتیشا الیه مدیا A 7- مراجع []. Sandeep, S. Bhargava, V. Kumar, A Bayesian approach to selecting hyperelastic constitutive models of soft tissue, Computer ethods in Applied echanics and Engineering, Vol. 9, pp. -, 5. [] W. aurel, Y. Wu, D. Thalmann, N.. Thalmann, Biomechanical odels for Soft Tissue Simulation, pp. -3, Berlin Heidelberg Springer-Verlag, 998. [3] W. Kolmer, Geruchsorgan, Haut und Sinnesorgane, pp. 9-49, Berlin Heidelberg, Springer, 97. [4] D. J. Patel, J. S. Janicki, Static elastic properties of the left coronary circumflex artery and the common carotid artery in dogs, Circulation Research, Vol. 7, No., pp , 97. [5] G. A. Holzapfel, T. C. Gasser, R. W. Ogden, A new constitutive framework for arterial wall mechanics and a comparative study of material models, Elasticity and the Physical Science of Solids, Vol. 6, No. -3, pp. -48,. [6] T. C. Gasser, R. W. Ogden, G. A. Holzapfel, Hyperelastic modelling of arterial layers with distributed collagen fibre orientations, Royal Society Interface, Vol. 3, No. 6, pp. 5-35, 6. [7] T. C. Gasser, C. A. J. Schulze-Bauer, G. A. Holzapfel, A three-dimensional finite element model for arterial clamping, Biomechanical Engineering, Vol. 4, No. 4, pp ,. [8] G. A. Holzapfel,. Stadler, C. A. J. Schulze-Bauer, A layer-specific threedimensional model for the simulation of balloon angioplasty using magnetic resonance imaging and mechanical testing, Biomedical Engineering, Vol. 3, No. 6, pp ,. [9] J. D. Humphrey, P. B. Canham, Structure, mechanical properties and mechanics of intracranial saccular aneurysms, Elasticity and the Physical Science of Solids, Vol. 6, No. -3, pp. 49-8,. [] D. R. Nolan, A. L. Gower,. Destrade, R. W. Ogden, A robust anisotropic hyperelastic formulation for the modelling of soft tissue, echanical Behavior of Biomedical aterials, Vol. 39, pp. 48-6, 4. []. ottahedi, H. Hai-Chao, Artery buckling analysis using a two-layered wall model with collagen dispersion, echanical Behavior of Biomedical aterials, Vol. 6, pp , 6. []. Alafzadeh, E. Shirani, E. Yahaghi, N. Fatouraee, Effective parameters on variation of wall shear stress in microvessels, odares echanical (فارسی Engineering, Vol. 6, No. 4, pp. 9-34, 6. (in Persian [3] G. A. Holzapfel, Nonlinear Solid echanics: A Continuum Approach for Engineering, pp. 6-95, West Sussex England, John Wiley & Sons,. [4] W. H. Hoppmann, L. Wan, Large deformation of elastic tubes, Biomechanics, Vol. 3, No. 6, pp , 97. [5] V. A. Kas' yanov, A. I. Rachev, Deformation of blood vessels upon stretching, internal pressure, and torsion, echanics of Composite aterials, Vol. 6, No., pp. 76-8, 98. [6] A. Delfino, N. Stergiopulos, J. E. oore, J. J. eister, Residual strain effects on the stress field in a thick wall finite element model of the human carotid bifurcation, Biomechanics, Vol. 3, No. 8, pp , 997. [7] A. D. Shah, J. D. Humphrey, Finite strain elastodynamics of intracranial saccular aneurysms, Biomechanics, Vol. 3, No. 6, pp , 999. [8] C. Shu, H. Du, Implementation of clamped and simply supported boundary conditions in the GDQ free vibration analysis of beams and plates, Solids and Structures, Vol. 34, No. 7, pp , 997. [9] F. Civan, C.. Sliepcevich, Differential quadrature for multi-dimensional problems, athematical Analysis and Applications, Vol., No., pp , 984. [] G. A. Holzapfel, G. Sommer, C. T. Gasser, P. Regitnig, Determination of layer-specific mechanical properties of human coronary arteries with nonatherosclerotic intimal thickening and related constitutive modeling, Physiology Heart and Circulatory Physiology, Vol. 89, No. 5, pp , 5. α β γ μ σ Φ Ψ Ψ vol